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  3. 设随机变量X的概率密度为f(x)，已知D(X)=1，而随机变量Y的概率密度为f(一y)，且ρXY=记Z=X+Y，求E(Z)，D(Z)．

设随机变量X的概率密度为f(x)，已知D(X)=1，而随机变量Y的概率密度为f(一y)，且ρXY=记Z=X+Y，求E(Z)，D(Z)．

admin2017-08-07  41
问题 设随机变量X的概率密度为f(x)，已知D(X)=1，而随机变量Y的概率密度为f(一y)，且ρXY=记Z=X+Y，求E(Z)，D(Z)．
选项
答案E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=∫-∞+∞xf(x)dx+∫-∞+∞yf(一y)dy. 令y=一x，则∫-∞+∞yf(一y)dy=∫-∞+∞(一x)f(x)d(一x)=一∫-∞+∞xf(x)dx，所以 E(Z)=0． 又 D(Y)=E(Y2)一[E(Y)]2=E(Y2)一[一E(X)]2，而 E(Y2)=∫-∞+∞y2f(一y)dy=∫-∞+∞(一x)2f(x)d(-x)=∫-∞+∞x2f(x)dx=E(X2)，而 E(Y2)=∫-∞+∞y2f(一y)dy=∫+∞-∞(一x)2f(x)d(一x)=∫-∞+∞x2f(x)dx=E(X2) 所以 D(Y)=E(Y2)一[一E(X)]2=E(X2)一[E(X)]2=D(X)=1． 于是 D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y) [*]
解析
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考研数学一

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