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  3. 设f(x)在(一∞，+∞)上有界，且存在二阶导数．试证明：至少存在一点ξ∈(一∞，+∞)使f’’(ξ)=0．

设f(x)在(一∞，+∞)上有界，且存在二阶导数．试证明：至少存在一点ξ∈(一∞，+∞)使f’’(ξ)=0．

admin2014-04-16  44
问题 设f(x)在(一∞，+∞)上有界，且存在二阶导数．试证明：至少存在一点ξ∈(一∞，+∞)使f’’(ξ)=0．
选项
答案用反证法，设对一切xE(一∞，+∞)，f’’(x)≠0，则要么对一切xE(一∞，+∞)，f’’(x)＞0，或者对一切x∈(一∞，+∞)，f’’(x)＜0．不妨设对一切x∈(一∞，+∞)，f’’(x)＞0．有以下两种解法：法一取x1使f’(x1)≠0．这种x1总存在的，因若不存在，则f’(x)≡0，从而与反证法的前提矛盾，取好x1之后，将f(x)在x=x1处按泰勒公式展开至n=1，有[*]若f’(x1)＞0，令上式中的x→+∞；若f’(x1)＜0，令上式中的x→一∞，总有[*]，与f(x)在(一∞，+∞)上有界矛盾．此矛盾证明了反证法的前提有错，故知存在ξ∈(一∞，+∞)使f’’(ξ)=0．法二由对一切x∈(一∞，+∞)，f’’(x)>0，故知对一切x，f’(x)严格单调增加．取x1使f’(x1)＞0(若不然，取x1使f’(x1)＜0)，由拉格朗日中值定理，当x＞x1时，有f(x)=f(z1)+f’(η)(x－x1)>f(x1)+f’(x1)(x－x1)，令x→∞，得f(x)→∞，与f(x)有界矛盾．若f’(x1)＜0，则当x＜x1时，有f(x)=f(x1)+f’(η)(x-x1)＞f(x1)+f’(x1)(x-x1)，令x→一∞，得f(x)→+∞，与f(x)有界矛盾．此矛盾证明了反证法的前提有错，故知存在ξ∈(一∞，+∞)，使f’’(ξ)=0．
解析
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考研数学二

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