2. 考研
  3. 设曲线方程为y=e-x(x≥0)． (Ⅰ)把曲线y=e-x(x≥0)、x轴、y轴和直线x=ξ(ξ＞0)所围成平面图形绕x轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体的体积V(ξ)，求满足 (Ⅱ)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大

设曲线方程为y=e-x(x≥0)． (Ⅰ)把曲线y=e-x(x≥0)、x轴、y轴和直线x=ξ(ξ＞0)所围成平面图形绕x轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体的体积V(ξ)，求满足 (Ⅱ)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大

admin2013-09-15  44
问题 设曲线方程为y=e-x(x≥0)．
  (Ⅰ)把曲线y=e-x(x≥0)、x轴、y轴和直线x=ξ(ξ＞0)所围成平面图形绕x轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体的体积V(ξ)，求满足
  (Ⅱ)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积．
选项
答案(Ⅰ)如图，旋转体体积 [*] (Ⅱ)如图，[*] 设切点为(a，e-a)，因y’=(e-x)’=-e-x， 所以切线方程为y-e-a=-e-a(x-a)， 令x=0，得y=(1+a)e-a，令y=0，得x=1+a， 于是切线与坐标轴所夹面积s=1/2(1+a)2e-a， [*] 令S’=0，得a1=1，a2=-1，其中a2=-1应舍去． 当a＜1时，S’=1/2(1-a)e-a＞0，当n＞1时，S’=1/2(1-a2)e-a＜0， 故当a=1时．面积最大，所求切点为(1，e-1)，最大面积S=1/2(1+1)2e-1=2e-1。
解析
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考研数学二

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