2. 考研
  3. (02年)设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)|x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy (1)设M(x0，y0)为区域D上的一个点，问h(x，y)在该点沿平面上沿什么方向

(02年)设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)|x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy (1)设M(x0，y0)为区域D上的一个点，问h(x，y)在该点沿平面上沿什么方向

admin2017-04-20  29
问题 (02年)设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)|x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy
(1)设M(x0，y0)为区域D上的一个点，问h(x，y)在该点沿平面上沿什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为g(x0，y0)，试写出g(x0，y0)的表达式．
(2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点．也就是说，要在D的边界曲线x2+y2一xy=75上找出使(1)中的g(x，y)达到最大值的点．试确定攀登起点的位置．
选项
答案(1)由梯度的几何意义知，h(x，y)在点M(x0，y0)处沿梯度 [*] 方向的方向导数最大，方向导数的最大值为该梯度的模，所以 [*] (2)令f(x，y)=g2(x，y)=5x2+5y2一8xy 由题意，只需求f(x，y)在约束条件75一x2一y2+xy=0下的最大值点．令 L(x，y,λ)=5x2+5y2
解析
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考研数学一

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