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证明推广的积分中值定理:设F(x)与G(x)都是区间[a,b]上的连续函数,且G(x)≥0,G(x)≠0,则至少存在一点ξ∈[a,b]使得 ∫abF(x)G(x)dx=F(ξ)∫abG(x)dx.
证明推广的积分中值定理:设F(x)与G(x)都是区间[a,b]上的连续函数,且G(x)≥0,G(x)≠0,则至少存在一点ξ∈[a,b]使得 ∫abF(x)G(x)dx=F(ξ)∫abG(x)dx.
admin
2020-03-15
43
问题
证明推广的积分中值定理:设F(x)与G(x)都是区间[a,b]上的连续函数,且G(x)≥0,G(x)≠0,则至少存在一点ξ∈[a,b]使得
∫
a
b
F(x)G(x)dx=F(ξ)∫
a
b
G(x)dx.
选项
答案
设F(x)在[a,b]上的最大值与最小值分别是M与m,利用G(x)≥0且G(x)≠0即知当x∈[a,b]时mG(x)≤F(x)G(x)≤MG(x), 由定积分的性质即知 m∫
a
b
G(x)dx=∫
a
b
mG(x)dx≤∫
a
b
F(x)G(x)dx≤∫
a
b
MG(x)dx=M∫
a
b
G(x)dx, 由于G(x)≥0且G(x)≠0,故∫
a
b
G(x)dx>0.从而有 [*] 再由F(x)是以m与M分别为其最小值与最大值的区间[a,b]上的连续函数即知存在ξ∈[a,b]使得 [*] 即∫
a
b
F(x)G(x)dx=F(ξ)∫
a
b
G(x)dx.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/O1iRFFFM
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考研数学三
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