(1999年)设X1,X2,…,X9是来自正态总体X的简单随机样本,Y1=(X1+X2+…+X6),Y2=(X7+X8+X9),S2=(Xi-Y2)2,Z=,证明统计量Z服从自由度为2的t分布。

admin2018-04-23  36

问题 (1999年)设X1,X2,…,X9是来自正态总体X的简单随机样本,Y1=(X1+X2+…+X6),Y2=(X7+X8+X9),S2=(Xi-Y2)2,Z=,证明统计量Z服从自由度为2的t分布。

选项

答案由于X2,…,X9是来自总体X的简单随机样本,故X1,…,X9独立。 设X~N(u,σ2),则X1,…,X9~N(u,σ2),又因为服从正态分布的独立随机变量其线性组合也服从正态分布,则 Y1=[*](X1+X2+…+X6)~N(u’,σ’2/6), 其中 u’=E(Y1)=E[ [*](X1+X2+…+X6)] =[*][E(X1)+E(X2)++E(X6)]=[*]=u, σ’2=D(Y1)=D[ [*](X1+X2+…+X6)]=[*](X1+X2+…+X6) 故 Y1~N(u,σ2/6) 同理,因为Y2=[*](X7+X8+X9),所以Y2~N(u,σ2/3)。 又由于Y1,Y2独立,且都服从正态分布,故Y1-Y2也服从正态分布,其期望方差分别为: E(Y1-Y2)=E(Y1)-E(Y2)=u-u=0,D(Y1-Y2)=D(Y1)+D(Y2)=σ2/6+σ2/3=σ2/2, 得 Y1~Y2~N(0,σ2/2), 将Y1-Y2标准化得 [*] 由正态总体样本方差的性质:[(n-1)S2]/σ2~χ2(n-1)~χ2(2),因S2与Y2独立(由于样本方差与样本均值独立)。 而Y1与S2独立,故U=[*]独立。所以由t分布的定义有: [*] 化简上式 [*]

解析
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