2. 考研
  3. 设F(u，v)有连续偏导数，且满足≠0，其中a，b，c≠0为常数，并有曲面S：F(cχ－az，cy－bz)＝0，求证： (Ⅰ)曲面S上点处的法线总垂直于常向量； (Ⅱ)曲面S是以г：＝0，为准线．母线平行于l＝(a．b．c)的柱面．

设F(u，v)有连续偏导数，且满足≠0，其中a，b，c≠0为常数，并有曲面S：F(cχ－az，cy－bz)＝0，求证： (Ⅰ)曲面S上点处的法线总垂直于常向量； (Ⅱ)曲面S是以г：＝0，为准线．母线平行于l＝(a．b．c)的柱面．

admin2018-06-12  23
问题 设F(u，v)有连续偏导数，且满足≠0，其中a，b，c≠0为常数，并有曲面S：F(cχ－az，cy－bz)＝0，求证：
    (Ⅰ)曲面S上点处的法线总垂直于常向量；
    (Ⅱ)曲面S是以г：＝0，为准线．母线平行于l＝(a．b．c)的柱面．
选项
答案(Ⅰ)令G(χ，y，z)＝F(cχ－az，cy－bz)，则曲面S的方程是G(χ，y，z)＝0，S上[*]点处的法向量是 n＝([*])＝(cF′1，cF′2，－aF′1－bF′2)． [*]n.(a，b，C)＝0[*]n⊥(a，b，c)[*]S上[*]点的法线总垂直于常向量(a，b，c)． (Ⅱ)过曲线г上[*]点(χ0，y0，0)以l＝(a，b，C)为方向向量的直线L的参数方程是 χ＝χ0＋ta，y＝y0＋tb，z＝tc， 要证L在S上．在L上， cχ＝cχ0＋tca，cy＝cy0＋tcb，tc＝z， cχ＝az＝cχ0，cy－bz＝cy0， [*]F(cχ－az，cy－bz)＝F(cχ0，cy0)＝0， 即L在曲面S上． 另一方面，曲面S上[*]点(χ0，y0，z0)： F(cχ0－az0，cy0－bz0)＝0． 记cχ0－az0＝cχ*，cy0－bz0＝cy*[*](χ*，y*，0)在г上即满足 [*] 点(χ0，y0，z0)在过点(χ*，y*，0)的直线[*]上，它的方向向量是 l＝[*]＝c(a，b，c)， 即S上[*]点(χ0，y0，z0)在过，上相应点(χ*，y*，0)以l＝(a，b，c)为方向向量的直线上． 因此，曲面S是以г为准线，母线平行于(a，b，c)的柱面．
解析
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考研数学一

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