已知A是3×4矩阵，r(A)=1，若α1=(1，2，0，2)T，α2=(1，一1，a，5)T，α3=(2，a，一3，一5)T，α4=(一1，一1，1，a)T线性相关，且可以表示齐次方程Ax=0的任一解，求Ax=0的基础解系．

admin2017-07-26 33

问题已知A是3×4矩阵，r(A)=1，若α₁=(1，2，0，2)^T，α₂=(1，一1，a，5)^T，α₃=(2，a，一3，一5)^T，α₄=(一1，一1，1，a)^T线性相关，且可以表示齐次方程Ax=0的任一解，求Ax=0的基础解系．

选项

答案因为A是3×4矩阵，且r(A)=1，所以齐次方程组Ax=0的基础解系有n一r(A)=3个解向量．又因α₁，α₂，α₃，α₄线性相关，且可以表示Ax=0的任一解，故向量组α₁，α₂，α₃，α₄的秩必为3，且其极大线性无关组就是Ax=0的基础解系．由于 [*] 当且仅当a=一3，4或1时，r(α₁，α₂，α₃，α₄)=3，且不论其中哪种情况，α₁，α₂，α₃必线性无关．所以α₁，α₂，α₃是Ax=0的基础解系．

解析

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考研数学三

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已知A是3×4矩阵，r(A)=1，若α1=(1，2，0，2)T，α2=(1，一1，a，5)T，α3=(2，a，一3，一5)T，α4=(一1，一1，1，a)T线性相关，且可以表示齐次方程Ax=0的任一解，求Ax=0的基础解系．

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