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求下列方程的通解: (Ⅰ)y’=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]y; (Ⅱ)xy’=
求下列方程的通解: (Ⅰ)y’=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]y; (Ⅱ)xy’=
admin
2018-06-27
17
问题
求下列方程的通解:
(Ⅰ)y’=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]y;
(Ⅱ)xy’=
选项
答案
(Ⅰ)属于变量可分离的方程.分离变量改写为 [*]=(sinlnx+coslnx+a)dx. 两端求积分,由于∫sin(lnx)dx=xsin(lnx)-∫xcos(lnx).[*]dx=xsin(lnx)-∫cos(lnx)dx, 所以通解为ln|y|=xsin(lnx)+ax+C
1
,或y=Ce
xsin(lnx)+ax
,其中C为任意常数. (Ⅱ)属齐次方程.令y=xu,并且当x>0时,原方程可化为 [*] 两端求积分,则得arcsinu=lnx+C,即其通解为arcsin[*]=lnx+C,其中C为任意常数. 当x<0时,上面的方程变为[*],其通解应为arcsin[*]=-ln|x|+C,其中C为任意常数. 所得通解公式也可统一为y=|x|sin(ln|x|+C).此处还需注意,在上面作除法过程中丢掉了两个特解u=±1,即y=±x.
解析
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考研数学二
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