已知函数f(x，y)满足fxy"(x，y)=2(y+1)ex，fx’(x，0)=(x+1)ex，f(0，y)= y2+2y，求f(x，y)的极值．

admin2021-01-19 34

问题已知函数f(x，y)满足f_xy^"(x，y)=2(y+1)e^x，f_x^’(x，0)=(x+1)e^x，f(0，y)= y²+2y，求f(x，y)的极值．

选项

答案由f_xy^"=2(y+1)e^x，得f_x^’=(y+1)²e^x+φ(x)．因为f_x^’(x，0)=(x+1)e^x，所以e^x+φ(x)=(x+1)e^x．得φ(x)=xe^x，从而f_x^’=(y+1)²e^x+xe^x．对x积分得 f(x，y)=(y+1)²e^x+(x一1)e²+ψ(y)．因为f(0，y)=y²+2y，所以ψ(y)=0，从而 f(x，y)=(x+y²+2y)e^x 于是f_y^’=(2y+2)e^x，f_xx^"=(x+y²+2y+2)e^x，f_yy^"=2e^x．令f_x^’=0， f_y^’=0，得驻点(0，一1)，所以 A=f_xx^"(0，一1)=1，B=f_xy^"(0，一1)=0，C=f_yy^"(0，一1)=2．由于AC一B²＞0，A＞0，所以极小值为f(0，一1)=一1．

解析

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考研数学二

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设f(x)为[a，b]上的函数且满足则称f(x)为[a，b]上的凹函数，证明：(1)若f(x)在[a，b]上二阶可微，且f"(x)＞0，则f(x)为[a，b]上的凹函数．(2)若f(x)为[a，b]上的有界凹函数，则下列结论成立：
设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。求导数f’(x)；
设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，求证：∫abf(x)dx=(b－a)[f(a)+f(b)]+∫abf"(x)(x－a)(x－b)dx．
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