设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。求导数f’(x)；

admin2019-07-22 42

问题设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式f’(x)+f(x)一

∫₀^xf(t)dt=0。
求导数f’(x)；

选项

答案由题设知 (x+1)f’(x)+(x+1)f(x)一∫₀^xf(t)dt=0。上式两边对x求导，得 (x+1)f’(x)=一(x+2)f’(x)，即有[*] 两边积分，得 ln｜f’(x)｜=一x一ln(x+1)+C₁，所以[*] 在题设等式中令x=0，得f’(0)+f(0)=0。又已知f(0)=1，于是f’(0)=一1，代入f’(x)的表达式，得C=一1，故有 [*]

解析

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考研数学二

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