求函数“u=x+y+z在球面x2+y2+z2=1外法线方向的方向导数,并求此方向导数的最大值点、最小值点及零点.

admin2022-07-21  31

问题 求函数“u=x+y+z在球面x2+y2+z2=1外法线方向的方向导数,并求此方向导数的最大值点、最小值点及零点.

选项

答案在球面x2+y2+z2=1上任取一点(x,y,z)外法线方向的单位法向量为 [*] 则函数u=x+y+z在该点处沿方向l的方向导数为 [*]=gradu|(x,y,z)·l={1,1,1}·{x,y,z}=x+y+z 为确定在球面x2+y2+z2=1上的点(x,y,z)使[*]最大,问题归结为函数f(x,y,z)=x+y+z在约束条件x2+y2+z2=1下的最大、最小值问题.令 F(x,y,z,λ)=x+y+z+λ(x2+y2+z2-1) 且 f’x(x,y,z,λ)=1+2xλ=0 f’y(x,y,z,λ)=1+2yλ=0 f’z(x,y,z,λ)=1+2zλ=0 f’λ(x,y,z,λ)=x2+y2+z2-1=0 解之得驻点为[*] 由实际问题的意义知,方向导数在P1[*]处取最大值为[*],在P2[*]方向导数最小值[*] 当点(x,y,z)位于曲线[*]上时方向导数为零.

解析
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