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  3. 求函数“u=x+y+z在球面x2+y2+z2=1外法线方向的方向导数，并求此方向导数的最大值点、最小值点及零点．

求函数“u=x+y+z在球面x2+y2+z2=1外法线方向的方向导数，并求此方向导数的最大值点、最小值点及零点．

admin2022-07-21  25
问题 求函数“u=x+y+z在球面x2+y2+z2=1外法线方向的方向导数，并求此方向导数的最大值点、最小值点及零点．
选项
答案在球面x2+y2+z2=1上任取一点(x，y，z)外法线方向的单位法向量为 [*] 则函数u=x+y+z在该点处沿方向l的方向导数为 [*]=gradu｜(x，y，z)·l={1，1，1}·{x，y，z}=x+y+z 为确定在球面x2+y2+z2=1上的点(x，y，z)使[*]最大，问题归结为函数f(x，y，z)=x+y+z在约束条件x2+y2+z2=1下的最大、最小值问题．令 F(x，y，z，λ)=x+y+z+λ(x2+y2+z2-1) 且 f’x(x，y，z，λ)=1+2xλ=0 f’y(x，y，z，λ)=1+2yλ=0 f’z(x，y，z，λ)=1+2zλ=0 f’λ(x，y，z，λ)=x2+y2+z2-1=0 解之得驻点为[*] 由实际问题的意义知，方向导数在P1[*]处取最大值为[*]，在P2[*]方向导数最小值[*] 当点(x，y，z)位于曲线[*]上时方向导数为零．
解析
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考研数学三

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