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设α1,α2,α3,α4,β为4维列向量,A=(α1,α2,α3,α4),若Aχ=β的通解为(-1,1,0,2)T+k(1,-1,2,0)T,则 (Ⅰ)β能否由α1,α2,α3线性表示?为什么? (Ⅱ)求α1,α2,α3,α4,β的一个极大
设α1,α2,α3,α4,β为4维列向量,A=(α1,α2,α3,α4),若Aχ=β的通解为(-1,1,0,2)T+k(1,-1,2,0)T,则 (Ⅰ)β能否由α1,α2,α3线性表示?为什么? (Ⅱ)求α1,α2,α3,α4,β的一个极大
admin
2017-11-09
45
问题
设α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β为4维列向量,A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),若Aχ=β的通解为(-1,1,0,2)
T
+k(1,-1,2,0)
T
,则
(Ⅰ)β能否由α
1
,α
2
,α
3
线性表示?为什么?
(Ⅱ)求α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β的一个极大无关组.
选项
答案
(Ⅰ)假设可以,即β=k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
,则(k
1
,k
2
,k
3
,0)
T
是Aχ=β的解. 从而(k
1
,k
2
,k
3
,0)
T
-(-1,1,0,2)
T
=(k
1
+1,k
2
-1,k
3
,-2)
T
就是Aχ=0的解. 但是显然(k
1
+1,k
2
-1,k
3
-2)
T
和(1,-1,2,0)
T
线性无关. 所以β不可以由α
1
,α
2
,α
3
线性表示. (Ⅱ)因为(-1,1,0,2)
T
是Aχ=β的解,则β=-α
1
+α
2
+2α
4
. 又因为(1,-1,2,0)
T
是Aχ=0的解,则α
1
-α
2
+α
3
=0. 所以,β和α
3
都可由α
1
,α
2
,α
4
线性表示. 又由R(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β)=R(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=3,所以,α
1
,α
2
,α
4
是极大无关组.
解析
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考研数学三
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