设函数f(x)在[0，t]上连续，记F(t)=∫0tdz∫0zdy∫0y(y-z)2f(x)dx．求F’(t)．

admin2022-07-21 25

问题设函数f(x)在[0，t]上连续，记F(t)=∫₀^tdz∫₀^zdy∫₀^y(y-z)²f(x)dx．求F’(t)．

选项

答案F(t)对应的积分区域为 Ω(t)={(x，y，z)｜0≤x≤y，0≤y≤z，0≤z≤t} 先交换累次积分∫₀^zdy∫₀^y(y-z)²f(x)dx的次序，因为 σ_xy={(x，y)｜0≤x≤y，0≤y≤z}={(x，y)｜0≤x≤z，x≤y≤z} 则交换积分次序，得 F(t)=∫₀^tdz∫₀^zf(x)dx∫_x^z(y-z)²dy=[*]∫₀^tdz∫₀^z(z-x)³f(x)dx 再对上式交换积分次序，因σ_xz={(x，z)｜0≤x≤z，0≤z≤t}={(x，z)｜x≤z≤t，0≤x≤t}，故 F(t)=[*]∫₀^tdz∫₀^z(z-x)³f(x)dx=[*]∫₀^tf(x)dx∫_x^t(z-x)³dz=[*]∫₀^t(t-x)⁴f(x)dx =[*][t⁴∫₀^tf(x)dx-4t³∫₀^txf(x)dx+6t²∫₀^tx²f(x)dx-4t∫₀^tx³f(x)dx+∫₀^tx⁴f(x)dx] 由变限积分求导公式，得 F’(t)=[*]∫₀^t(t-x)³f(x)dx

解析

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考研数学三

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