设函数f(x)三阶可导,且满足f"(x)+[f’(x)]2=x,又f’(0)=0.则( ).

admin2016-12-16  29

问题 设函数f(x)三阶可导,且满足f"(x)+[f’(x)]2=x,又f’(0)=0.则(     ).

选项 A、f(0)是f(x)的极大值
B、f(0)是f(x)的极小值
C、点(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点
D、f(0)不是f(x)的极值,点(0,f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点

答案C

解析 由于将x=0代入所给方程,得到f"(0)=0,不能用二阶导数判别法判别拐点的存在,下面用三阶导数判别之.
将x=0代入所给方程,得到f"(0)=0.在所给方程两端对x求导,得到
f"’(x)=1—2f’(x)f"(x),则f"’(0)=1一0=1>0.

由极限的保号性知f"(x)在x=0的左、右两侧异号,故(0,f(0))为f(x)的拐点,仅(C)入选.
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