已知函数f(x)二阶可导，且，则f(x)＝__________。

admin2019-01-25 25

问题已知函数f(x)二阶可导，且

，则f(x)＝__________。

选项

答案[*]， C₁,C₂为任意常数

解析本题考查变限积分求导和二阶非齐次微分方程求解。首先处理积分∫¹₀f(tx)dt，在等式两端乘以x，令u＝tx，原式化为含变上限积分的等式；再通过对变形后的方程两边同时求导构造二阶微分方程；最后利-用二阶非齐次方程求解步骤求通解。
将所给的方程两端同乘以x可得

令u＝tx，上式变为

两边同时对x求导，得微分方程f＂(x)－4f(x)＝e^2x，即y＂－4y＝e^2x。y＂－4y＝0的特征根为λ＝±2，因此对应齐次方程的通解为y＝C₁e^－2x＋C₂e^2x。
设特解为y^*＝Axe^2x,代入y＂－4y＝e^2x，解得

，所以

，C₁，C₂为任意常数。

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