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  3. (1996年)设f(x)有连续导数，f(0)=0，f’(0)≠0，且当x→0时，f’(x)与xk是同阶无穷小，则k等于( )

(1996年)设f(x)有连续导数，f(0)=0，f’(0)≠0，且当x→0时，f’(x)与xk是同阶无穷小，则k等于( )

admin2018-07-01  29
问题 (1996年)设f(x)有连续导数，f(0)=0，f’(0)≠0，且当x→0时，f’(x)与xk是同阶无穷小，则k等于(      )
选项 A、1．
B、2．
C、3．
D、4．
答案C
解析 解1  
    由于而上式右端极限存在且为非零常数，则k=3，所以应选(C)．
    解2  由原题知当x→0时，F’(x)与xk为同阶无穷小，换句话说，当x→0时，F’(x)是x的k阶无穷小，本题要决定k，即要决定当x→0时，F’(x)是x的几阶无穷小，如果能决定F(x)是x的几阶无穷小，降一阶就应是F’(x)的阶数．下面来决定F(x)是x的几阶无穷小．由于
                        f(t)=f(0)+f’(0)t+o(t)=f’(0)t+o(t)
    由于上式中第二项o(t)是高阶：无穷小，略去它不影响F(x)的阶数，则x→0时，与F(x)的阶数相同，而
            
    显然它是x的四阶无穷小，则x→0时F(x)是x的四阶无穷小，F’(x)应是x的三阶无穷小，故应选(C)．
    △解3  与解2前面的分析一样，本题只要能确定F(x)是x的几阶无穷小，问题就得到解决．在F(x)=的表达式中有一个一般函数f(t)，这样一个一般的f(x)它都能决定F(x)的阶数，那么取一个具体的f(t)，比如取f(t)=t，当然同样也可以决定结果．将f(t)=t代入得
               
    显然它是x的四阶无穷小，从而F’(x)是x的三阶无穷小，所以应选(C)．
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