已知anxn的收敛半径R=R0>0,求证:级数an/n!xn的收敛域为(-∞,+∞).

admin2019-05-14  32

问题 已知anxn的收敛半径R=R0>0,求证:级数an/n!xn的收敛域为(-∞,+∞).

选项

答案即证[*],幂级数[*]an/n!xn均收敛.任取|x0|<R0,x0≠0,考察|an/n!xn|与|anx0n|的关系并利用比较判别法. [*] 有界,即1/n!|x/x0|n≤M(n=0,1,2,…),M>0为某常数,于是 |an/n!xn|≤M|anx0n|. 由幂级数在收敛区间内绝对收敛[*]|anx0n|收敛. [*] 因此,原幂级数的收敛域为(-∞,+∞).

解析
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