2. 考研
  3. 设向量组(I)α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，－1，a+2)T和向量组(Ⅱ)β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T．试问：当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值时，向量组(

设向量组(I)α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，－1，a+2)T和向量组(Ⅱ)β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T．试问：当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值时，向量组(

admin2019-12-26  29
问题 设向量组(I)α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，－1，a+2)T和向量组(Ⅱ)β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T．试问：当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)不等价?
选项
答案对(α1，α2，α3[*]β1，β2，β3)作初等行变换，得 [*] (1)当a≠－1时，r(α1，α2，α3)=3，线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=βi(i=1，2，3)均有唯一解，所以β1，β2，β3可由向量组(I)线性表示． 由于行列式 [*] 故对任意a，方程组x1β1+x2β2+x3β3=αj(j=1，2，3)都有唯一解，即向量组α1，α2，α3能由向量组(Ⅱ)线性表示． 因此，当a≠－1时，向量组(I)与(Ⅱ)等价． (2)当a=－1时，有 [*] 由于秩r(α1，α2，α3)≠r(α1，α2，α3，β1)，所以线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β1无解，故β1不能由α1，α2，α3线性表示．因此，向量组(I)与(Ⅱ)不等价．
解析
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考研数学三

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