证明：对称阵A为正定的充要条件是存在可逆阵U，使A＝UTU，即A与单位阵E合同．

admin2020-06-05 21

问题证明：对称阵A为正定的充要条件是存在可逆阵U，使A＝U^TU，即A与单位阵E合同．

选项

答案充分性因为存在可逆矩阵U，使A＝U^TU，故任取x∈Rⁿ，且x≠0，就有Ux≠0(否则，由u为可逆矩阵可得x＝0)，并且，A的二次型在该处的值 f(x)＝x^TAx＝x^TU^TUx＝[Ux，Ux]＝｜｜Ux｜｜²﹥0即矩阵A的二次型是正定的，从而A是正定矩阵．必要性因A是对称阵，故必存在正交阵P，使得P^TAP＝[*]＝diag(λ₁，λ₂，…，λ_n)，其中，λ₁，λ₂，…，λ_n是A的n个特征值，由于A为正定矩阵，故A的所有特征值均大于0，即λ_i﹥0(i＝1，2，…，n)．记对角阵[*]，则有 [*] 从而[*]，记U＝(P[*])^T，显然U为可逆矩阵，并且由上式知A＝U^TU．

解析

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考研数学一

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