2. 考研
  3. 设f(x)在(a，b)内处处可导，且满足f’(x)≠0．证明对任何x0∈(a，b)一定存在x1，x2∈(a，b)使得f(x1)＞f(x0)＞f(x2)．

设f(x)在(a，b)内处处可导，且满足f’(x)≠0．证明对任何x0∈(a，b)一定存在x1，x2∈(a，b)使得f(x1)＞f(x0)＞f(x2)．

admin2019-02-20  25
问题 设f(x)在(a，b)内处处可导，且满足f’(x)≠0．证明对任何x0∈(a，b)一定存在x1，x2∈(a，b)使得f(x1)＞f(x0)＞f(x2)．
选项
答案假设结论不正确，则存在x0∈(a，b)使得对任何x∈(a，b)，要么f(x)≥f(x0)(这时f(x0)为极小值)；要么f(x)≤f(x0)(这时f(x0)为极大值)．因此若结论不正确，则f(x)必在(a，b)内某点x0处取得极值．由于f(x)在(a，b)内处处可导，由费马定理可知f’(x0)=0，但是对一切x∈(a，b)有f’(x)≠0，这就产生了矛盾．因此结论正确．
解析 f(x1)＞f(x0)＞f(x2)的含义是既有函数值小于f(x0)的点又有函数值大于f(x0)的点．若这个结论不正确，则在(a，b)内的函数值要么处处不小于f(x0)，要么处处不大于f(x0)，这时f(x0)就是极值．由费马定理得出f’(x0)=0，此与条件矛盾．
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考研数学三

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