2. 考研
  3. 设曲线L的参数方程为x=φ(t)=t—sin t，t=ψ(t)=1一cos t(0≤t≤2π)． (1)求由L的参数方程确定连续函数y=y(x)，并求出它的定义域． (2)求曲线L与x轴所围图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积V。

设曲线L的参数方程为x=φ(t)=t—sin t，t=ψ(t)=1一cos t(0≤t≤2π)． (1)求由L的参数方程确定连续函数y=y(x)，并求出它的定义域． (2)求曲线L与x轴所围图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积V。

admin2016-01-15  35
问题 设曲线L的参数方程为x=φ(t)=t—sin t，t=ψ(t)=1一cos t(0≤t≤2π)．
(1)求由L的参数方程确定连续函数y=y(x)，并求出它的定义域．
(2)求曲线L与x轴所围图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积V。
选项
答案(1)φ’(t)=1一cost＞0(t∈(0，2π))，φ’(0)=φ’(2π)=0，又φ(t)在[0，2π]上连续，所以φ(t)在[0，2π]单调递增，值域为[φ(0)，φ(2π)]=[0，2π]，则x=φ(t)在[0，2π]存在连续的反函数t=t(x)，定义域为[0，2π]，即y(x)=ψ[t(x)]在[0，2π]上连续． (2)由旋转体的体积公式有： V=2π∫02πxy(x)dx=2π∫02π(t一sint)(1一cost)2dt =2π∫02πt(1一cost)2dt一2π(订sint(1一cost)2dt， 其中 ∫02πsint(1一cost)2dt=∫—ππsint(1一cost)2dt=0。 再令 t=2π—s，那么V=2π∫02π(2π—s)(1一coss)2ds=2π∫02π2π(1—coss)2ds—V， 从而 [*]
解析
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考研数学一

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