2. 考研
  3. 设函数f(x)和g(x)和[a，b]上存在二阶导数，并且g〞(x)≠0，f(a)＝f(b)＝g(a)＝g(b)＝O，试证 (1)在开区间(a，b)内g(x)≠0； (2)在开区间(a，b)内至少存在一点ε，使

设函数f(x)和g(x)和[a，b]上存在二阶导数，并且g〞(x)≠0，f(a)＝f(b)＝g(a)＝g(b)＝O，试证 (1)在开区间(a，b)内g(x)≠0； (2)在开区间(a，b)内至少存在一点ε，使

admin2019-02-23  32
问题 设函数f(x)和g(x)和[a，b]上存在二阶导数，并且g〞(x)≠0，f(a)＝f(b)＝g(a)＝g(b)＝O，试证
(1)在开区间(a，b)内g(x)≠0；
(2)在开区间(a，b)内至少存在一点ε，使
选项
答案证：将欲证的等式变形为f(ε)g〞(ε)－f〞(ε)g(ε)＝0，由此可启发我们构造辅助函数φ(x)＝f(x)gˊ(x)－fˊ(x)g(x)． (1)用反证法．若存在c∈(a，b)，使g(c)＝0，对g(x)在[a，c]和[c，b]上应用罗尔定理，知存在ε1∈(a，c)，ε2∈(c，d)，使gˊ(ε1)＝gˊ(ε2)＝0． gˊ(x)再在[ε1，ε2]上应用罗尔定理，应存在ε3∈(ε1，ε2)，使g〞(ε3)＝0，这与条件g〞(x)≠0矛盾．故在(a，b)内g(x)≠0． (2)令φ(x)＝f(x)gˊ(x)－fˊ(x)g(x)，则φ(a)＝φ(b)＝0，由罗尔定理知，存在ε∈(a，b)，使φˊ(ε)＝0，即 fˊ(ε)gˊ(ε)＋f(ε)g〞(ε)－f〞(ε)g(ε)－fˊ(ε)gˊ(ε)＝0 即 f(ε)g〞(ε)＝f〞(ε)g(ε) 因g(ε)≠0，g〞(ε)≠0，故得 [*]
解析
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考研数学二

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