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设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组Ax=0． (Ⅰ)如A中每行元素之和均为0，且r(A)=n一1，则方程组的通解是___________； (Ⅱ)如每个n维向量都是方程组的解，则r(A)=___________； (Ⅲ)如r(A)=n一1，且代数余子式A1
设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组Ax=0． (Ⅰ)如A中每行元素之和均为0，且r(A)=n一1，则方程组的通解是___________； (Ⅱ)如每个n维向量都是方程组的解，则r(A)=___________； (Ⅲ)如r(A)=n一1，且代数余子式A1
admin
2020-03-10
22
问题
设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组Ax=0．
(Ⅰ)如A中每行元素之和均为0，且r(A)=n一1，则方程组的通解是___________；
(Ⅱ)如每个n维向量都是方程组的解，则r(A)=___________；
(Ⅲ)如r(A)=n一1，且代数余子式A
11
≠0，则Ax=0的通解是_________，A
*
x=0的通解是__________，(A
*
)
*
x=0的通解是___________．
选项
答案
(Ⅰ)k(1，1，…，1)
T
． (Ⅱ)0 (Ⅲ)k(A
11
，A
12
，…，A
1n
)
T
k
1
e
1
+k
2
e
2
+…+k
n
e
n
k[*]
解析
(Ⅰ)从r(A)=n一1知Ax=0的基础解系由1个解向量组成，因此任一非零解都可成为基础解系．因为每行元素之和都为0，有
a
i1
+a
i2
+…+a
in
=1.a
i1
+1.a
i2
+…+1.a
in
=0，
所以，(1，1，…，1)
T
满足每一个方程，是Ax=0的解，故通解是k(1，1，…，1)
T
．
(Ⅱ)每个n维向量都是解，因而有n个线性无关的解，那么解空间的维数是n，又因解空间维数是n—r(A)，故n=n—r(A)，即 r(A)=0．
(Ⅲ)对Ax=0，从r(A)=n一1知基础解系由1个解向量所构成．因为AA
*
=｜A｜E=0，A
*
的每一列都是Ax=0的解．现已知A
11
≠0，故(A
11
，A
12
，…，A
1n
)
T
是Ax=0非零解，即是基础解系，所以通解是k(A
11
，A
12
，…，A
1n
)
T
．
对A
*
x=0，从r(A)=n一1知r(A
*
)=1，那么A
*
x=0的基础解系由n—r(A
*
)=n一1个向量所构成，从A
*
A=0知A的每一列都是A
*
x=0的解，由于代数余子式A
11
≠0，知，n一1维向量
(a
22
，a
32
，…，a
n2
)
T
，(a
22
，a
33
，…，a
n3
)
T
，…，(a
2n
，a
3n
，…，a
nn
)
T
线性无关，那么延伸为n维向量
(a
12
，a
22
，…，a
n2
)
T
，(a
13
，a
23
，…，a
n3
)
T
，…，(a
1n
，a
2n
，…，a
nn
)
T
仍线性无关，即是A
*
x=0的基础解系，．
对(A
*
)
*
x=0，同上知r(A
*
)=1，已知当n≥3时，r((A
*
)
*
)=0，那么任意n个线性无关的向量都可构成基础解系．例如，取
e
1
=(1，0，…，0)
T
，e
2
=(0，1，…，0)
T
，…，e
n
=(0，0，…，1)
T
，得通解k
1
e
1
+k
2
e
2
+…+k
n
e
n
．
如n=2，对于A=
=A．
那么(A
*
)
*
x=0的通解是k
(注：AA
*
=0，A
11
=a
22
≠0，r(A)=1)．
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/KpCRFFFM
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考研数学一
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