设A是一个可逆实对称矩阵，记Aij是它的代数余子式．二次型f(χ1，χ2，…，χn)＝χiχj． (1)用矩阵乘积的形式写出此二次型． (2)f(χ1，χ2，…，χn)的规范形和XTAX的规范形是否相同?为什么?

admin2019-05-11 47

问题设A是一个可逆实对称矩阵，记A_ij是它的代数余子式．二次型f(χ₁，χ₂，…，χ_n)＝

χ_iχ_j．
(1)用矩阵乘积的形式写出此二次型．
(2)f(χ₁，χ₂，…，χ_n)的规范形和X^TAX的规范形是否相同?为什么?

选项

答案(1)由于A是实对称矩阵，它的代数余子式A_ij＝A_ji[*]i，j并且A^-1也是实对称矩阵，其(i，j)位的元素就是A_ij／｜A｜，于是f(χ₁，χ₂，…，χ_n)＝X^TA^-1X． (2)A^-1的特征值和A的特征值互为倒数关系，因此A^-1和A的正的特征值的个数相等，负的特征值的个数也相等，于是它们的正，负惯性指数都相等，从而A^-1和A合同，f(χ₁，χ₂，…，χ_n)和X^TAX有相同的规范形．

解析

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考研数学二

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设A是一个可逆实对称矩阵，记Aij是它的代数余子式．二次型f(χ1，χ2，…，χn)＝χiχj． (1)用矩阵乘积的形式写出此二次型． (2)f(χ1，χ2，…，χn)的规范形和XTAX的规范形是否相同?为什么?

考研数学二

设A为m×n阶实矩阵，且r(A)＝n．证明：ATA的特征值全大于零．

，αTβ＝aibi≠0，求A的全部特征值，并证明A可以对角化．

设A＝，且AX＝0的基础解系含有两个线性无关的解向量，求AX＝0的通解．

设n阶矩阵A＝(α1，α2，…，αn)的前n－1个列向量线性相关，后n－1个列向量线性无关，且α1＋2α2＋…＋(n－1)αn-1＝0，b＝α1＋α2＋…＋αn．(1)证明方程组AX＝b有无穷多个解；(2)求方程组AX＝b的通解．

求微分方程y〞－y＝4cosχ＋eχ的通解．

计算I＝y2dσ，其中D由χ＝－2，y＝2，χ轴及曲线χ＝－围成．

设，则t＝0对应的曲线上点处的法线为_______．

设A＝，｜A｜＝－1，α＝为A的特征向量，求A的特征值λ及a，b，c和A对应的特征值μ．

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某甲状腺功能减退患者，患病半年，规律服药，近日来出现严重便秘，下列护理措施不妥的是

(共用备选答案)A．维A酸B．美托洛尔C．烟酸D．碳酸钙E．青霉素妊娠早期妇女禁用的药品是

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在中国境内没有设立机构、场所而有来源于我国境内的股息、利息、租金、特许权使用费等项所得的外国公司、企业和其他经济组织缴纳外商投资企业和外国企业所得税，所适用的税率为()。

会见与会谈的人数较少时，一般采用()座位布局形式。

现在很多人办事。如去医院看病、孩子上学、公司信贷等都要托熟人、找关系。对于这类“潜规则现象”，你怎么看?

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