2. 考研
  3. 设f(x)是区间[a，b]上的一个非常数的连续函数，M，m分别是最大、最小值，证明：存在[α，β][a，b]，使得 (1)m＜f(x)＜M，x∈(α，β)； (2)f(α)，f(β)恰好是f(x)在[a，b]上的最大、最小值(最小、最大值)

设f(x)是区间[a，b]上的一个非常数的连续函数，M，m分别是最大、最小值，证明：存在[α，β][a，b]，使得 (1)m＜f(x)＜M，x∈(α，β)； (2)f(α)，f(β)恰好是f(x)在[a，b]上的最大、最小值(最小、最大值)

admin2022-10-31  23
问题 设f(x)是区间[a，b]上的一个非常数的连续函数，M，m分别是最大、最小值，证明：存在[α，β][a，b]，使得
    (1)m＜f(x)＜M，x∈(α，β)；
    (2)f(α)，f(β)恰好是f(x)在[a，b]上的最大、最小值(最小、最大值)．
选项
答案∵f(x)是[a，b]上一个非常数的连续函数，∴m＜M． 不妨设α1，β1∈[a，b]，α1＜β1，使f(α1)=m，f(β1)=M．若对[*]x∈(α1，β1)，有m＜f(x)＜M，则结论成立．否则，即存在点x0∈(α1，β1)，有f(x0)=m或f(x0)=M． 当f(x0)=m时，取α2=x0，β2=β1，则有[α2，β2][*][a，b]，使得f(α2)=m，f(β2)=M．当f(x0)=M时，取α2=α1，β2=x0，则有[α2，β2][*][a，b]，使得f(α2)=m，f(β2)=M．即总存在[α2，β2]，f(α2)=m，f(β2)=M且[α2，β2][*][α1，β1]． 重复上述过程：若对[*]x∈(α2，β2)，有m＜f(x)＜M．则结论成立．否则，即存在点x1∈(α2，β2)，有f(x1)=m或f(x1)=M．当f(x1)=m时，取α3=x1，β3=β2，有[α3，β3][*][α2，β2]，且f(α3)=m，f(β3)=M．当f(x1)=M时，取α3=α2，β3=x1，有[α3，β3][*][α2，β2]，且f(α3)=m，f(β3)=M． 这样再重复上述过程，得到[α，β][*][a，b]，使m＜f(x)＜M，x∈(α，β)．此时结论成立．或者存在[αn，βn][*][a，b]，且[αn+1，βn+1][*][αn，βn]，使得f(αn)=m，f(βn)=M，n=1，2，…．此时，因为{αn}递增有上界，{βn}递减有下界，所以存在α，β∈[a，b]使[*]且αn≤α≤β≤βn．假如α=β，由于f(αn)=m，f(βn)=M，f(x)是连续函数，可以推出 [*] 即m=M，矛盾．所以α＜β且[*]x∈(α，β)，有m＜f(x)＜M，f(α)是f(x)在[a，b]上的最小值，f(β)是f(x)在[a，b]上的最大值．
解析
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考研数学二

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