2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3，矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是a1=(-1，-1，1)T，a2=(1，-2，-1)T． (Ⅰ)求A的属于特征值3的特征向量； (Ⅱ)求矩阵A．

设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3，矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是a1=(-1，-1，1)T，a2=(1，-2，-1)T． (Ⅰ)求A的属于特征值3的特征向量； (Ⅱ)求矩阵A．

admin2013-09-03  39
问题 设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3，矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是a1=(-1，-1，1)T，a2=(1，-2，-1)T．
    (Ⅰ)求A的属于特征值3的特征向量；
    (Ⅱ)求矩阵A．
选项
答案(Ⅰ)由题设，实对称矩阵A的三个特征值不同，则相应的特征向量彼此正交，设A的属于特征值3的特征向量为a3=(x1，x2，x3)T，则a1Ta3=0且a2Ta3=0， 写成线性方程组的形式为[*]，可解得[*]，其中C为任意 非零常数，所以A的属于特征值3的特征向量为a3=C(1，0，1)T． (Ⅱ)由于实对称阵必可对角化，即存在可逆矩阵P，使P-1AP=[*] 且由前述可令P=[*]，因此A=P[*] 先求出P-1=[*] 则A=[*]
解析
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考研数学一

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