设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明： (1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵； (2)当｜ε｜充分小时，A＋εB仍是正定矩阵．

admin2019-02-26 65

问题设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明：
(1)存在可逆矩阵P，使得P^TAP，P^TBP都是对角矩阵；
(2)当｜ε｜充分小时，A＋εB仍是正定矩阵．

选项

答案(1)因为A正定，所以存在实可逆矩阵P₁，使得P₁^TAP₁＝E．作B₁＝P₁^TBP₁，则B仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵Q，使得Q^TB₁Q是对角矩阵．令P＝P₁Q，则 P^TAP＝Q^*P₁^TAP₁Q＝E，P^TBP＝Q^TP₁^TBP₁Q＝Q^TB₁Q．因此P即所求． (2)设对(1)中求得的可逆矩阵P，对角矩阵P^TBP对角线上的元素依次为λ₁，λ₃，…，λ_n，记 M＝max{｜λ₁｜，｜λ₂｜，…，｜λ_n｜}．则当｜ε｜＜1／M时，E＋εP^TBP仍是实对角矩阵，且对角线上元素1＋ελ_i＞0，i＝1，2，…，n．于是E＋εP^TBP正定，P^T(A＋εB)P＝E＋εP^TBP，因此A＋εB也正定．

解析

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考研数学一

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设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明： (1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵； (2)当｜ε｜充分小时，A＋εB仍是正定矩阵．

考研数学一

设A是3阶可逆矩阵，其逆矩阵的特征值分别为1，，则｜A｜中对角线元素的代数余子式之和为_______．

设L为椭圆，其周长记为a，则(2xy+3x2+4y2)ds=_______。

若x→0时，(1-ax2)1/4-1与xsinx的等价无穷小，则a＝________．

已知2CA－2AB＝C－B，其中A＝，则C3＝_______．

设η为非零向量，A=，η为方程组AX=0的解，则A=，方程组的通解为．

设f(x)是以2π为周期的函数，当x∈[一π，π]时，f(x)=f(x)的傅里叶级数的和函数为S(x)，则

设u(x，y)在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且，则u(x，y)的()

在曲线的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线

设A是n阶矩阵(n≥2)，证明：(Ⅰ)当n=2时，(A)=A；(Ⅱ)当n≥3时，(A)=｜A｜n-1A。

输液反应中发热反应主要表现为

下列原始凭证中，属于一次凭证的包括()。

统计调查可分为全面调查和非全面调查，下述调查属于全面调查的是()。[2006年中级真题]

风险水平类指标主要包括()。

把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是：

数学系的学生也学了不少文科课程，王颖是数学系的学生，所以她也学了不少文科课程。以下哪项论证展示的推理错误与上述论证中的最相似?

Whatisthepurposeofthecall?

WhywereTransitionalPeriodtextilesmadefromfactory-producedyarns?

Inthego-goyearsofthelate1990s,noeconomictheoristlookedbetterthanJosephSchumpeter,theAustrianchampionofcapita

ItispossibleforstudentstoobtainadvanceddegreeinEnglishwhileknowinglittleornothingabouttraditionalscholarlymet

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