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设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则( )
设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则( )
admin
2016-04-11
29
问题
设X
1
和X
2
是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f
1
(x)和f
2
(x)，分布函数分别为F
1
(x)和F
2
(x)，则( )
选项
A、f
1
(x)+f
2
(x)必为某一随机变量的概率密度
B、f
1
(x)．f
2
(x)必为某一随机变量的概率密度
C、F
1
(x)+F
2
(x)必为某一随机变量的分布函数
D、F
1
(x)．F
2
(x)必为某一随机变量的分布函数
答案
D
解析
由已知，∫
-∞
+∞
f
1
(x)dx=∫
-∞
+∞
f
2
(x)dx=1，故
∫
-∞
+∞
[f
1
(x)+f
2
(x)]dx=∫
-∞
+∞
f
1
(x)dx+∫
-∞
+∞
f
2
(x)dx=2≠1，
所以不选(A)，若设f
1
(x)=f
2
(x)=
则
即∫
-∞
+∞
f
1
(x)f
2
(x)dx有可能非1，故不选(B)．
又由分布函数的性质和F
1
(+∞)=F
2
(+∞)=1，故
[F
1
(x)+F
2
(x)]=2，故不选(C)。
若令g(x)=F
2
(x)．F
2
(x)，由F
1
(-∞)=F
2
(-∞)=0、F
1
(+∞)=F
2
(+∞)=1，可得g(-∞)=0，g(+∞)=1；又由F
1
(x)和F
2
(x)均非降，可得g(x)非降(设x
1
＜x
2
，由0≤F
1
(x
1
)≤F
1
(x
2
)，0≤F
2
(x
1
)≤F
2
(x
2
)，可得g(x
2
)≤g(x
2
))；再由F
1
(x)和F
2
(x)右连续(本题由于X
1
和X
2
为连续型随机变量，所以F
1
(x)和F
2
(x)是连续的)，可见g(x)也是右连续的(本题中g(x)是连续的)，故证得g(x)=F
1
(x)．F
2
(x)是分布函数，故选(D)。
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考研数学一
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