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  3. 设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则( )

设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则( )

admin2016-04-11  31
问题 设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则(    )
选项 A、f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度
B、f1(x)．f2(x)必为某一随机变量的概率密度
C、F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数
D、F1(x)．F2(x)必为某一随机变量的分布函数
答案D
解析 由已知，∫-∞+∞f1(x)dx=∫-∞+∞f2(x)dx=1，故
∫-∞+∞[f1(x)+f2(x)]dx=∫-∞+∞f1(x)dx+∫-∞+∞f2(x)dx=2≠1，
所以不选(A)，若设f1(x)=f2(x)=则

即∫-∞+∞f1(x)f2(x)dx有可能非1，故不选(B)．
又由分布函数的性质和F1(+∞)=F2(+∞)=1，故[F1(x)+F2(x)]=2，故不选(C)。
若令g(x)=F2(x)．F2(x)，由F1(-∞)=F2(-∞)=0、F1(+∞)=F2(+∞)=1，可得g(-∞)=0，g(+∞)=1；又由F1(x)和F2(x)均非降，可得g(x)非降(设x1＜x2，由0≤F1(x1)≤F1(x2)，0≤F2(x1)≤F2(x2)，可得g(x2)≤g(x2))；再由F1(x)和F2(x)右连续(本题由于X1和X2为连续型随机变量，所以F1(x)和F2(x)是连续的)，可见g(x)也是右连续的(本题中g(x)是连续的)，故证得g(x)=F1(x)．F2(x)是分布函数，故选(D)。
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