设函数f(x)=(ex－1)(e2x－2)…(enx－n)，其中n为正整数，则f’(0)=

admin2017-12-11 39

问题设函数f(x)=(e^x－1)(e^2x－2)…(e^nx－n)，其中n为正整数，则f’(0)=

选项 A、(－1)^n－1(n－1)！。
B、(－1)ⁿ(n－1)！。
C、(－1)^n－1n！。
D、(－1)ⁿn！。

答案A

解析 f(x)是n个函数的乘积，注意到x=0时，这n个函数中只有(e^x－1)等于0。
因此，将f(x)写成f(x)=(e^x－1)g(x)，其中g(x)=(e^2x－2)…(e^nx－n)。
这样f’(x)=e^xg(x)+(e^x－1)g’(x)，从而f’(0)=g(0)，其中g(0)=(－1)(－2)……(1－n)=(－1)^n－1(n－1)！。故选A。

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