设函数y=y(x)在(一∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数. (1)试将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)所满足的微分方程. (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)

admin2017-07-26  42

问题 设函数y=y(x)在(一∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数.
    (1)试将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)所满足的微分方程.
    (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=的解.

选项

答案(1)由反函数的求导法则,知[*]=1. 在上式两边同时对变量x求导,得[*].代入原微分方程,得 y"一y=sinx. ① (2)微分方程①所对应的齐次微分方程y"一y=0的通解为 [*]=c1ex+c2e—x, 其中c1,c2为任意常数. 微分方程①的特解为 y*=Acosx+Bsinx, 代入到微分方程①中,得A=0,B=一[*]sinx,从而微分方程①的通解为 y=c1ex+c2e—x一[*]sinx, 其中c1,c2为任意常数. 由条件y(0)=0,y’(0)=[*]得c1=1,c2=一1.因此,所求初值问题的解为 y=ex一e—x一[*]sinx.

解析 利用反函数的求导法则与复合函数的求导法则求出[*]的表达式.代入原微分方程,即得所求的微分方程.然后再求此方程满足初始条件的微分方程.
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/IwSRFFFM
0

随机试题
最新回复(0)