2. 考研
  3. 设f(x)在[0，+∞)上连续可微．并且∫0+∞f2(x)dx＜+∞，如果｜f’(x)｜≤C(当x＞0时)，其中C为一常数，试证：f(x)=0．

设f(x)在[0，+∞)上连续可微．并且∫0+∞f2(x)dx＜+∞，如果｜f’(x)｜≤C(当x＞0时)，其中C为一常数，试证：f(x)=0．

admin2022-11-23  19
问题 设f(x)在[0，+∞)上连续可微．并且∫0+∞f2(x)dx＜+∞，如果｜f’(x)｜≤C(当x＞0时)，其中C为一常数，试证：f(x)=0．
选项
答案由于f(x)在[0，+∞)上连续，｜f’(x)｜≤C，x＞0时，所以f(x)在[0，+∞)上一致连续，从而f2(0，+∞)在[0，+∞)上也一致连续． 若[*]f(x)≠0，则存在ε0＞0，对任给A＞0，存在x1＞A，使得｜f(x1)｜＞[*]由于f2(x)在[0，+∞)上一致收敛，对于ε0＞0，存在δ＞0，当x’，x”∈[0，+∞)且｜x’-x”｜＜δ时，有｜f2(x’)-f2(x”)＜ε0／2．因此当x∈[x1，x1+δ]时，有 ｜f2(x)｜≥｜f2(x1)｜-｜f2(x1)-f2(x)｜＞ε0-[*]=ε0／2． 所以有[*]根据柯西准则，此即表明∫0+∞f2(x)dx发散，这与已知条件矛盾，所以假设不成立，即应有[*]f(x)=0存在．
解析
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考研数学三

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