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  3. 计算曲面积分4zxdydz－2zydzdx+(1一z2)dxdy，其中S为z=ey(0≤y≤a)绕z轴旋转成的曲面下侧．

计算曲面积分4zxdydz－2zydzdx+(1一z2)dxdy，其中S为z=ey(0≤y≤a)绕z轴旋转成的曲面下侧．

admin2016-11-03  34
问题 计算曲面积分4zxdydz－2zydzdx+(1一z2)dxdy，其中S为z=ey(0≤y≤a)绕z轴旋转成的曲面下侧．
选项
答案设D为平面z=ea介于此旋转曲面内的部分． 令 P=4zx，Q=－2zy，R=1一z2， 则 [*] 根据高斯公氏得 [*]4zxdydz一2zydzdx+(1一z2)dxdy=0， 所以 [*]4zxdydz一2zydzdx+(1一z2)dxdy =[*]4zxdydz一2zydzdx+(1一z2)dxdy． 因D关于y轴对称，4zx是D上关于x的奇函数，故[*]4zxdxdy=0．又D关于x轴对称，2zy是D上关y的奇函数，故[*]52zydzdx=0． 于是 [*]4zxdydz一2zydzdx+(1一z2)dxdy =0+0－[*](1一z2)dxdy=一[*](1一e2a)dxdy =(e2a—1)[*]dxdy=(e2a一1)πa2．
解析 曲面S不封闭，先添加一平面区域D(见下图)使其封闭．在封闭曲面所围成的区域内使用高斯公式求之．而在添加的平面域上的积分可利用对称性等方法简化求之．
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