2. 考研
  3. 设f(χ)在[0，1]上二阶可导，f(1)＝1，且＝1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f〞(ξ)－2f′(ξ)＋2＝0．

设f(χ)在[0，1]上二阶可导，f(1)＝1，且＝1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f〞(ξ)－2f′(ξ)＋2＝0．

admin2019-08-23  32
问题 设f(χ)在[0，1]上二阶可导，f(1)＝1，且＝1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f〞(ξ)－2f′(ξ)＋2＝0．
选项
答案由[*]＝1得f(0)＝0，f′(0)＝1， 由拉格朗日中值定理，存在c∈(0，1)，使得f′(c)＝[*]＝1， 令φ(χ)＝e－2χ[f′(χ)－1]， 由f′(0)＝f′(c)＝1得φ(0)＝φ(c)＝0， 由罗尔定理，存在ξ∈(0，c)[*](0，1)，使得φ′(ξ)＝0， 而φ′(χ)＝－2e－2χ[f′(χ)－1]＋e－2χf〞(χ)＝e－2χ[f〞(χ)－2f′(χ)＋2]， 因为e－2χ≠0，所以f〞(ξ)－2f′(ξ)＋2＝0．
解析
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考研数学二

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