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  3. 已知三元二次型xTAx的平方项系数都为0，α=(1，2，—1)T满足Aα=2α． 求作正交变换x=Qy，把xTAx化为标准二次型．

已知三元二次型xTAx的平方项系数都为0，α=(1，2，—1)T满足Aα=2α． 求作正交变换x=Qy，把xTAx化为标准二次型．

admin2019-01-29  43
问题 已知三元二次型xTAx的平方项系数都为0，α=(1，2，—1)T满足Aα=2α．
求作正交变换x=Qy，把xTAx化为标准二次型．
选项
答案先求A的特征值． |λE—A|=[*]=(λ—2)2(λ+4)． 于是A的特征值就是2，2，—4． 再求单位正交特征向量组． 属于2的特征向量是(A—2E)x=0的非零解． A—2E=[*] 得(A—2E)x=0的同解方程组：x1—x2—x3=0． 显然β1=(1，1，0)T是—个解，设第二个解为β2=(1，—1，c)T(这样的设定保证了两个解是正交的!)，代入方程得c=2，得到属于特征值2的两个正交的特征向量β1，β2．再把它们单位化： 记η1=β1／[*]，η2=β2／[*]． 属于—4的特征向量是(A+4E)x=0的非零解． 求出β3=(1，—1，—1)T是一个解，单位化： 记η3=β3／[*]． 则η1，η2，η3是A的单位正交特征向量组，特征值依次为2，2，—4． 作正交矩阵Q=(η1，η2，η3)，则Q—1AQ是对角矩阵，对角线上的元素为2，2，—4． 作正交变换x=Qy，它把f(x1，x2，x3)化为2y12+2y22—4y22．
解析
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考研数学二

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