2. 考研
  3. 设f(x)和g(x)在区间(a，b)可导，并设在(a，b)内f(x)g’(x)一f’(x)≠0，证明在(a，b)内至多存在一点ξ，使得f(ξ)=0。

设f(x)和g(x)在区间(a，b)可导，并设在(a，b)内f(x)g’(x)一f’(x)≠0，证明在(a，b)内至多存在一点ξ，使得f(ξ)=0。

admin2020-03-08  25
问题 设f(x)和g(x)在区间(a，b)可导，并设在(a，b)内f(x)g’(x)一f’(x)≠0，证明在(a，b)内至多存在一点ξ，使得f(ξ)=0。
选项
答案(反证法)：假设在(a，b)内存在两个不同的点ξ1，ξ2，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0，令 φ(x)=f(x)e-g(x)，则 φ’(x)=e-g(x)[f’(x)一f(x)g’(x)]。 因为φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由罗尔定理知，至少存在一点ξ介于ξ1，ξ2之间，使φ’(ξ)=0， 即e-g(ξ)[f’(ξ)-f(ξ)g’(ξ)]=0，于是有f’(ξ)一f(ξ)g’(ξ)=0，这与题设矛盾，所以假设不成立。 故在(a，b)内至多存在一点ξ，使得f(ξ)=0。
解析
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考研数学一

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