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设L为柱面x2+y2=1与平面z=x+y的交线,从z轴正向看为逆时针方向,则I=∮Lxzdx+xdy+dz=________.
设L为柱面x2+y2=1与平面z=x+y的交线,从z轴正向看为逆时针方向,则I=∮Lxzdx+xdy+dz=________.
admin
2022-07-21
31
问题
设L为柱面x
2
+y
2
=1与平面z=x+y的交线,从z轴正向看为逆时针方向,则I=∮
L
xzdx+xdy+
dz=________.
选项
答案
π
解析
方法一 圆柱面x
2
+y
2
=1被平面z=x+y所截的截面取上侧,法向量n={-1,-1,1)的方向余弦为
由斯托克斯公式可得
其中D
xy
:x
2
+y
2
≤1,由D
xy
的对称性得
方法二 按曲线积分计算,曲线L的参数方程为
故 I=∫
0
2π
[cost(cost+sint)(-sint)+costcost+
sin
2
t(-sint+cost)]dt
=∫
0
2π
cos
2
tdt=π
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考研数学二
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