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两县城A和B相距20 km,现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和.记C点到城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理厂对城A与城B的总影
两县城A和B相距20 km,现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和.记C点到城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理厂对城A与城B的总影
admin
2019-12-12
40
问题
两县城A和B相距20 km,现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧
上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和.记C点到城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理厂对城A与城B的总影响度为y.统计调查表明:垃圾处理厂对A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k.当垃圾处理厂建在弧
的中点时,对城A和城B的总影响度为0.065.
讨论第一问中函数的单调性,并判断弧
756上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理由.
选项
答案
因为[*] 由y’=0解得x=[*]或x=-[*](舍去), 易知[*]∈(0,20). Y、y’随x的变化情况如下表: [*] 由表可知,函数在(0,[*])内单调递减,在([*],20)内单调递增,当x=[*]时,y取最小值为1/16,故在[*]上存在C点,使得建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小,该点与城A的距离x=[*]km.
解析
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