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  3. 设n阶矩阵 已知tr(A)=a≠0．证明：矩阵A相似于对角矩阵．

设n阶矩阵 已知tr(A)=a≠0．证明：矩阵A相似于对角矩阵．

admin2018-09-25  24
问题 设n阶矩阵

已知tr(A)=a≠0．证明：矩阵A相似于对角矩阵．
选项
答案设α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T，则矩阵A=αβT． 于是 A2=AA=(αβT)(αβT)=(βTα)αβT [*] =tr(A).A=aA． 设λ是A的特征值，ξ是对应的特征向量，则 A2ξ=aAξ，λ2ξ=aλξ，(λ2－aλ)ξ=0． 由于ξ≠0，故有λ(λ－a)=0．所以，矩阵A的特征值是0或a．又因为[*]=tr(A)=a≠0，所以λ1=a是A的1重特征值，λ2=λ3=…=λn=0是A的n－1重特征值． 对于特征值λ2=λ3=…=λn=0，齐次线性方程组(0.E－A)x=0系数矩阵的秩 r(0.E－A)=r(－A)=r(A) =r(αβT)≤min{r(α)，r(βT))=1． 又因为 [*] 故ai，bi(i=1，2，…，n)不全为零．由此可知 r(A)≥1． 所以r(0.E－A)=1．因此，矩阵A的属于n－1重特征值0的线性无关的特征向量个数为n－1．从而，A有n个线性无关的特征向量，故A相似于对角矩阵．
解析
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考研数学一

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