设A,B为n阶矩阵,记r(X)为矩阵X的秩,(XY)表示分块矩阵,则( )

admin2021-01-25  36

问题 设A,B为n阶矩阵,记r(X)为矩阵X的秩,(XY)表示分块矩阵,则(    )

选项 A、r(A AB)=r(A).
B、r(A BA)=r(A).
C、r(A B)=max{r(A),r(B)}.
D、r(A B)≤r(AT BT)..

答案A

解析 1 由于矩阵AB的列向量可以由矩阵A的列向量组线性表出,所以A的列向量组的最大线性无关组是矩阵(A AB)的列向量组的最大线性无关组,而矩阵的秩也等于它的最大线性无关列向量组所含向量的个数,因此有r(A AB)=r(A),故选项A是正确的.
2 如果取2阶矩阵

则r(A BA)=2,r(A)=1,故选项B不对;
如果取2阶矩阵

则r(A B)=2,max{r(A),r(B)}=1,故选项C不对;
如果取2阶矩阵

则r(A B)=1,r(AT BT)=2,故选项D不对;
于是只有选项A是正确的.
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