设平面上有一抛物镜的轴截线方程为y=x2．若光线沿平行于y轴的方向射向镜面，证明反射光线都通过y轴上点(0，1／4)．

admin2022-10-31 39

问题设平面上有一抛物镜的轴截线方程为y=x²．若光线沿平行于y轴的方向射向镜面，证明反射光线都通过y轴上点(0，1／4)．

选项

答案设点P(x₀，x₀²)是入射光线与镜面的交点，反射光线与y轴交于点Q．过点P的镜面的切线与y轴交于点R，此切线的斜率为(x²)’[*]=2x₀，于是直线PR的方程为y-x₀²=2x₀(x-x₀)，由此可得点R的坐杯为(0，-x₀²)．按光线反射时满足入射角等于反射角的规律，在图5-4中入射角为α，反射角为β，即有α=β．由于△PQR的两个底角分别为α，β的余角，因此△PQR是等腰三角形． [*] 设点Q的坐标为(0，q)，在R₁△PQR中，｜PQ｜²=｜QT｜²+｜PT｜²=x₀²+(x₀²-q)²．由于｜PQ｜²=｜QR｜²，因此x₀²+(x₀²-q)²-(q+x₀²)²．由此解得对任何x₀都有q=1／4．

解析

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考研数学一

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