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  3. 已知函数y=(x+1)ex是一阶线性微分方程y’+2y=f(x)的解，求二阶常系数线性微分方程y"+3y’+2y=f(x)的通解．

已知函数y=(x+1)ex是一阶线性微分方程y’+2y=f(x)的解，求二阶常系数线性微分方程y"+3y’+2y=f(x)的通解．

admin2012-01-13  47
问题 已知函数y=(x+1)ex是一阶线性微分方程y’+2y=f(x)的解，求二阶常系数线性微分方程y"+3y’+2y=f(x)的通解．
选项
答案y=C1e-x+C2e-2x+[*]，
解析 根据题意得y’=ex+(x+1)ex=(x+2)ex f(x)=y’+2y=(x+2)ex+2.(x+1)ex=(3x+4)ex，则y"+3y’+2y=(3x+4)ex．
    求上式特征方程r2+3r+2=0，得r1=-1，r2=-2，所以，y"+3y’+2y=(3x+4)ex的通解为y=C1e-x+C2e-2x，因为λ=1不是特征根，所以原方程的一个特解为y=(Ax+B)ex，即y’=(Ax+A+B)exy"=(Ax+2A+B)ex，上述=式代入y"+3y’+2y=(3x+4)ex得(Ax+2A+B)ex+3(Ax+A+B)ex+2(Ax+B)ex=(3x+4)ex，化解为 6Ax+5A+6B=3x+4．解得．
所以所求方程通解为y=C1e-x十C2e-2x+
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