2. 考研
  3. 设函数f(x)在[2，+∞)上可导且f(2)=1，如果f(x)的反函数g(x)满足=x2f(x)+x，则f(4)=_____．

设函数f(x)在[2，+∞)上可导且f(2)=1，如果f(x)的反函数g(x)满足=x2f(x)+x，则f(4)=_____．

admin2017-05-18  25
问题 设函数f(x)在[2，+∞)上可导且f(2)=1，如果f(x)的反函数g(x)满足=x2f(x)+x，则f(4)=_____．
选项
答案[*]
解析 当x≥2时，将已知方程两边对x求导得
    g[f(x)]f’(x)=2xf(x)+x2f’(x)+1，
因为g(x)是f(x)的反函数，所以g[f(x)]=x，于是，上式可写成
    xf’(x)=2xf(x)+x2f’(x)+1，
即    (x2-x)f’(x)+2xf(x)=-1，

这是一个一阶线性微分方程，利用一阶线性微分方程的通解公式，有

由f(2)=1，得C=3-ln2，所以

于是
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考研数学一

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