2. 考研
  3. 计算∮Γ(x2+y2+2z)ds，其中Γ为

计算∮Γ(x2+y2+2z)ds，其中Γ为

admin2023-03-22  0
问题 计算∮Γ(x2+y2+2z)ds，其中Γ为
选项
答案解法1 由于Γ是平面x+y+z=0上过球x2+y2+z2=R2的中心的大圆．两个曲面方程联立消去z，得 x2+xy+y2=R2／2，[*] ① 在①式中，令 [*] 将②，③代入平面x+y+z=0，得[*]，故Γ的参数方程为 [*] 解法2 由于积分曲线方程中的变量x，y，z具有轮换性，即三个变量轮换位置方程不变，且对弧长的曲线积分与积分曲线的方向无关．故有 ∮Γx2ds=∮Γy2ds=[*]∮Γ(x2+y2+z2)ds=[*] 同理 ∮Lxds=∮Lyds=∮Lzds=[*]∮L(x+y+z)ds=0． 所以 ∮Γ(x2+y2+2z)ds=[*]∮Γ(x2+y2+z2)ds+[*]∮Γ(x+y+z)ds=[*]πR3．
解析
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考研数学三

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