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设f’(x)在[a,b]上连续,且f’(a)>0,f’(b)<0,则下列结论中错误的是( ).
设f’(x)在[a,b]上连续,且f’(a)>0,f’(b)<0,则下列结论中错误的是( ).
admin
2021-05-21
38
问题
设f
’
(x)在[a,b]上连续,且f
’
(a)>0,f
’
(b)<0,则下列结论中错误的是( ).
选项
A、至少存在一点x
0
∈(a,b),使得f(x
0
)>f(a)
B、至少存在一点x
0
∈(a,b),使得f(x
0
)>厂(6)
C、至少存在一点x
0
∈(a,b),使得f(x
0
)=0
D、至少存在一点x
0
∈(a,b),使得f(x
0
)=0
答案
D
解析
由已知,f
’
(a)>0,则
,从而存在δ
1
>0,
当x∈(a,a+δ
1
)时,f(x)>f(a);f
’
(b)<0,则
,从而δ
2
>0,当
x∈(b-δ
2
,b)时,f(x)>f(b).至此可知(A),(B)正确;
又由已知f
’
(x)在[a,b]上连续,及f
’
(a)>0,f
’
(b)<0,则由连续函数的介值定理知
存在一点x
0
∈(a,b),使得f
’
(x
0
)=0,故(C)也正确;
关于(D),若令[a,b]=[-1,1],f(x)=2-x
2
,则f
’
(x)=-2x且f
’
(-1)=2>0及f
’
1)=-2<0,但f(x)>0,所以(D)错误,选(D).
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考研数学三
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