2. 公务员
  3. 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an+1，an+2．…的最小值记为Bn,dn=An－Bn． 设d是非负整数，证明：dn=－d(n=1，2，3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；

已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an+1，an+2．…的最小值记为Bn,dn=An－Bn． 设d是非负整数，证明：dn=－d(n=1，2，3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；

admin2019-06-01  36
问题 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an+1，an+2．…的最小值记为Bn,dn=An－Bn．
设d是非负整数，证明：dn=－d(n=1，2，3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；
选项
答案(充分性)因为{an}是公差为d的等差数列，且d≥0，所以a1≤a2≤…≤an≤…．因此An=an，Bn=an+1，dn=an－an+1=－d(n=1，2，3，…)． (必要性)因为d，=－d≤0(n=1，2，3，…)，所以An=Bn+dn≤Bn．又因为an≤An，an+1≥Bn，所以an≤an+1．于是An=an,Bn=an+1，因此an+1－an=Bn－An=－dn=d，即{an}是公差为d的等差数列．
解析
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