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  3. [2004年]设有齐次线性方程组 n≥2，试问a取何值时，该方程组有非零解?并求出其通解．

[2004年]设有齐次线性方程组 n≥2，试问a取何值时，该方程组有非零解?并求出其通解．

admin2019-04-08  24
问题 [2004年]设有齐次线性方程组 n≥2，试问a取何值时，该方程组有非零解?并求出其通解．
选项
答案利用初等行变换求之． [*] (1)当a=0时，秩(A1)=秩（A）=1，方程组有非零解，由 A2=[*] 即知其基础解系含n一1个解向量α1，α2，…，αn-1，且 α1=[一1，1，0，…，0]T，α2=[一1，0，1，…，0]T，…，αn-1=[一1，0，…，0，1]T． 方程组的通解为 x=k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1， ① 其中k1，k2，…，kn-1为任意常数． (2)当a≠0时，对A1作初等行变换化成含最高阶单位矩阵的矩阵： [*] 当a+n(n+1)／2=0即a=一n(n+1)／2时，秩（A）=n一1＜n，方程组有非零解，其基础解系只含一个解向量β=[1，2，3，…，n]T，原方程的通解为 x=kβ， 其中k为任意常数． ②
解析
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考研数学一

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