2. 考研
  3. (Ⅰ)证明方程xn+xn－1+…x=1(n为大于1的整数)在区间(1／2，1)内有且仅有一个实根； (Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为xn，证明xn存在，并求此极限。

(Ⅰ)证明方程xn+xn－1+…x=1(n为大于1的整数)在区间(1／2，1)内有且仅有一个实根； (Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为xn，证明xn存在，并求此极限。

admin2018-04-14  41
问题 (Ⅰ)证明方程xn+xn－1+…x=1(n为大于1的整数)在区间(1／2，1)内有且仅有一个实根；
(Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为xn，证明xn存在，并求此极限。
选项
答案(Ⅰ)令f(x)=xn+xn－1+…－+x－1，则f(1)＞0。因 f(1／2) [*] =－(1／2)n＜0， 由零点定理得f(x)=xn+xn－1+…+x－1在(1／2，1)上至少存在一个零点，则方程xn+xn－1+…+x－1在区间(1／2，1)内至少有一个实根。 又f’(x)=nxn－1+(n－1)xn－2+…+2x+1＞1＞0，即f(x)=xn+xn－1+…+x－1在(1／2，1)上是单调递增的，可知f(x)=xn+xn－1+…+x－1在(1／2，1)内最多只有一个零点。 故方程xn+xn－1+…+x=1在区间(1／2，1)内有且仅有一个实根。 (Ⅱ)由于f(xn)=0，可知 xnn+xnn－1+…+xn－1=0，(1) 进而有xn+1n+1+xn+1n+…+xn+1－1=0，由于xn+1n+1＞0，则 xn+1n+xn+1n－1+…+xn+1－1＜0，(2) 比较(1)式与(2)式可知xn+1＜xn，故{xn}单调递减。 又由于1／2＜xn＜1，{xn}是有界的。由单调有界收敛定理可知，[*]xn存在。 假设[*]xn=a，可知口＜x2＜x1=1。由等比数列求和公式，当n→∞时， [*]
解析
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考研数学二

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