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用配方法化下列次型为标准型 (1)f(χ1,χ2,χ3)=χ12+2χ22+2χ1χ2-2χ1χ3+2χ2χ3. (2)f(χ1,χ2,χ3)=χ1χ2+χ1χ3+χ2χ3.
用配方法化下列次型为标准型 (1)f(χ1,χ2,χ3)=χ12+2χ22+2χ1χ2-2χ1χ3+2χ2χ3. (2)f(χ1,χ2,χ3)=χ1χ2+χ1χ3+χ2χ3.
admin
2016-10-21
49
问题
用配方法化下列次型为标准型
(1)f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=χ
1
2
+2χ
2
2
+2χ
1
χ
2
-2χ
1
χ
3
+2χ
2
χ
3
.
(2)f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=χ
1
χ
2
+χ
1
χ
3
+χ
2
χ
3
.
选项
答案
(1)f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=χ
1
2
+2χ
2
2
+2χ
1
χ
2
-2χ
1
χ
3
+2χ
2
χ
3
=[χ
1
2
+2χ
1
χ
2
-2χ
1
χ
3
+(χ
2
-χ
3
)
2
]-(χ
2
-χ
3
)
2
+2χ
2
2
+2χ
2
χ
3
=(χ
1
+χ
2
-χ
3
)
2
+χ
2
2
+4χ
2
χ
3
-χ
3
2
=(χ
1
+χ
2
-χ
3
)
2
+χ
2
2
+4χ
2
χ
3
+4χ
3
2
-5χ
3
2
=(χ
1
+χ
2
-χ
3
)
2
+(χ
2
+2χ
3
)
2
-5χ
3
2
. 令[*] 原二次型化为f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=y
1
2
+y
2
2
-5y
3
2
. 从上面的公式反解得变换公式:[*] 变换矩阵C=[*] (2)这个二次型没有平方项,先作一次变换[*] f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=y
1
2
-y
2
2
+2y
1
y
3
. 虽然所得新二次型还不是标准的,但是有平方项了,可以进行配方了: y
1
2
-y
2
2
+2y
1
y
3
=(y
1
+y
3
)
2
-y
2
2
-y
3
2
. [*] 则f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=z
1
2
-z
2
2
-z
3
2
. 变换公式为[*] 变换矩阵C=[*]
解析
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考研数学二
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