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设f(x)在[1，＋∞)上有连续的二阶导数，f(1)=0，fˊ(1)=1，且二元函数z=(x2+y2)f(x2+y2)满足，求f(x)在[1，+∞)的最大值
设f(x)在[1，＋∞)上有连续的二阶导数，f(1)=0，fˊ(1)=1，且二元函数z=(x2+y2)f(x2+y2)满足，求f(x)在[1，+∞)的最大值
admin
2016-03-18
40
问题
设f(x)在[1，＋∞)上有连续的二阶导数，f(1)=0，fˊ(1)=1，且二元函数z=(x
2
+y
2
)f(x
2
+y
2
)满足
，求f(x)在[1，+∞)的最大值
选项
答案
[*]=2xf+2x(x
2
+y
2
) fˊ [*]=2f+(10x
2
+2y
2
) fˊ +(4x
4
+4x
2
y
2
)厂， 根据对称性得 [*]=2f+(10y
2
+2x
2
) fˊ+(4y
4
+4x
2
y
2
) fˊˊ [*]=4f+12(x
2
+y
2
) fˊ+4(x
2
+y
2
)
2
fˊˊ 令x
2
+y
2
=r，由[*]得f+3rfˊ+r
2
fˊ=0， 令r=e
t
，[*]整理得 [*] 解得f=(C
1
+C
2
t)e
－t
，于是f(r)=( C
1
+C
2
lnr)[*]，由f(1)=0，得C
1
=0，f(r)=[*]，fˊ(r)=[*]，由fˊ(1)=1，得C
2
=1，于是[*]，得x=e，当x∈(1，e)时，fˊ(x)＞0，当x＞e时，fˊ(x)＜0，则x=e为f(x)在[1，+∞)上的最大值点，最大值为[*]
解析
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考研数学一
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